最小二乘法
最小二乘法
（Least Squares Method，又稱最小平方法）是一種數學優化技術，核心目標是透過最小化誤差的平方和來尋找數據的最佳函數匹配。
1. 基本原理
它主要用於解決「如何畫出一條最能代表所有數據點的直線或曲線」的問題。
誤差（殘差）：實際觀測值與模型預測值之間的差距。
最小化目標：將所有點的誤差先「平方」再「相加」，找到使這個總和達到最小的參數。使用平方是為了消除正負誤差抵消的問題，並放大較大誤差的權重。
2. 核心公式
在最簡單的線性回歸（
）中，該方法會計算出特定的斜率
與截距
，使得下式最小化：
3. 常見應用
線性回歸：在機器學習與統計學中建立變數間的預測模型。
數據擬合：將實驗測得的散佈點擬合成規律的曲線（如物理實驗數據處理）。
參數估計：在工程、經濟學及測量學中，從含有雜訊的觀測值中推算真實參數。
4. 為什麼叫「二乘」？
「二乘」在古漢語中意指「平方」。因此，「最小二乘」即為「最小平方」的意思。
您是想了解如何用 Python/Excel 實作最小二乘法，還是想深入探討其矩陣推導過程？
能用小學生都能懂得方法教會我嗎?
沒問題！我們不談公式，改用一個
「拉橡皮筋」的小遊戲來理解。
想像一下，桌上有好幾個固定住的小釘子，它們隨機散佈在桌面上。你的任務是：放一根筆直的木棒在桌上，讓這根木棒離所有釘子「最近」。
第一步：測量距離（誤差）
如果木棒放在中間，有的釘子在木棒左邊，有的在右邊。
我們拿一根橡皮筋，把每個釘子都連到木棒上。
釘子離木棒越遠，橡皮筋就拉得越長。
橡皮筋拉得越長，力量（能量）就越大。
第二步：為什麼要「平方」（二乘）？
在數學裡，「平方」就像是把橡皮筋的拉力加倍。
如果距離只有 1 公分，拉力很小。
如果距離變成 10 公分，拉力會變得超級大（就像
這麼大）。
這會強迫木棒不能離任何一個釘子太遠，否則那根橡皮筋會傳來巨大的力量把木棒扯過去。
第三步：尋找平衡點（最小化）
現在你鬆開手，讓這根木棒在桌上被這些橡皮筋拉扯。
木棒會晃來晃去，最後停在一個所有橡皮筋拉力互相抵消、總能量最小的位置。
這個位置，就是這根木棒「最靠近所有釘子」的最佳位置。
總結一下
最小：指的是讓橡皮筋的總拉力達到最小。
二乘（平方）：指的是距離越遠，拉力增加得越快（像平方一樣）。
法：就是這套「找平衡位置」的方法。
所以，最小二乘法就是在找一條「最能平衡所有數據點」的直線。
你想試試看用這個邏輯，來分析一個生活中的例子嗎？（例如：如何預測冰淇淋店的生意）
- 誤差（殘差）：實際觀測值與模型預測值之間的差距。
- 最小化目標：將所有點的誤差先「平方」再「相加」，找到使這個總和達到最小的參數。使用平方是為了消除正負誤差抵消的問題，並放大較大誤差的權重。
- 線性回歸：在機器學習與統計學中建立變數間的預測模型。
- 數據擬合：將實驗測得的散佈點擬合成規律的曲線（如物理實驗數據處理）。
- 參數估計：在工程、經濟學及測量學中，從含有雜訊的觀測值中推算真實參數。
我們拿一根橡皮筋，把每個釘子都連到木棒上。
- 釘子離木棒越遠，橡皮筋就拉得越長。
- 橡皮筋拉得越長，力量（能量）就越大。
- 如果距離只有 1 公分，拉力很小。
- 如果距離變成 10 公分，拉力會變得超級大（就像 10*10=100 這麼大）。
這會強迫木棒不能離任何一個釘子太遠，否則那根橡皮筋會傳來巨大的力量把木棒扯過去。
- 木棒會晃來晃去，最後停在一個所有橡皮筋拉力互相抵消、總能量最小的位置。
- 這個位置，就是這根木棒「最靠近所有釘子」的最佳位置。
- 最小：指的是讓橡皮筋的總拉力達到最小。
- 二乘（平方）：指的是距離越遠，拉力增加得越快（像平方一樣）。
- 法：就是這套「找平衡位置」的方法。
